Wraps 2D: een goniometrische Odyssee

We bevinden ons in een ver verleden, midden op de Middellandse Zee, en een klassieke held, Tortylleus, wil graag naar huis. Dat is hem niet gegund, want een der goden is boos. Tortylleus krijgt pas voorspoed wanneer hij een goede manier vindt om wraps te eten. Want hoe de mens ook vouwt, er belandt altijd saus op borden, handen of kleding. De wrap is juist gegeven om waar je maar wilt met je handen te kunnen eten, al is het op de Olympus zelf, waar het morsen van saus een doodzonde is. De boze god vindt dat Tortylleus dit probleem maar moet oplossen. Daarna mag hij naar huis.

Tortylleus heeft op deze queeste al een nieuwe vouwmethode gevonden, die we hieronder laten zien.

Na het vinden van deze methode dacht Tortylleus naar huis te kunnen. Zo ontstaat er immers een bakje onderin de wrap, waar vocht niet uit kan ontsnappen. Het doel leek bereikt. Helaas, de boze godheid neemt geen genoegen met deze innovatie. Tortylleus moet een preciezere, optimale vouwbeschrijving vinden om het probleem van de lekkende wraps op te lossen.

Tortylleus heeft bemanning. Ook de bemanning wil graag naar huis. Het totale gezelschap bestaat uit Tortylleus, het duo P. & P., en Intel. P. & P. zijn van eenvoudige afkomst, maar hebben hun nut al vaak bewezen. Intel heeft een bijzondere, zij het niet unieke, positie bij de goden, en heeft vroeger bekend gestaan als orakel.

P. & P. hebben ontdekt waar een gevouwen wrap kan lekken. Dit hebben ze ‘lekpunt L’ genoemd. Onze held vermoedt dat de boze godheid ze rust zal geven, wanneer ze bepaald hebben hoe ze lekpunt L zo hoog mogelijk in de wrap kunnen vouwen. Hoe hoger het lekpunt ligt, hoe meer vocht kan blijven staan zonder te lekken.

De mannen hebben enige analyses uitgevoerd. Het bleek dat de hoogte van L wordt bepaald door de hoek van de eerste twee vouwlijnen ten opzichte van de horizon. Deze hoek heet \(\theta\). Daarnaast is van belang hoe ver de flap wordt omgevouwen. De loodrechte afstand tussen de eerste twee vouwlijnen en het middelpunt van de wrap heet r’. De straal van de wrap heet r, het middelpunt M. Punt A is het kruispunt van de eerste twee vouwlijnen, het laagste punt van de gevouwen wrap.

Zoals ik al zei, we zitten midden op de Middellandse Zee. Het is windstil, maar er is net iets belangrijks gebeurd. Tijd voor een speech van de leider.

“Brave mannen, beste helden. We hebben na vele omzwervingen een Nieuwe Methode gevonden, maar de boze godheid laat ons niet gaan. Nu is het windstil en we kunnen niet roeiend komen tot een kwantitatieve beschrijving van de hoogte van lekpunt L. Misschien zijn de goden ons gunstiger gezind als we een omweg nemen. Nu bedacht ik zojuist dat de hoogte van het lekpunt wordt gegeven door de lengte van lijnstuk AL vermenigvuldigd met de sinus van hoek \(\theta\). Daarom moeten we eerst op zoek naar de lengte van lijnstuk AL.” De bemanning vond het allemaal prima. Zeilen zonder wind is deprimerend, vooral als je naar huis wilt.

Meteen stak de wind op, blijkbaar stonden de goden hier achter. Maar de wind woei precies de verkeerde kant op! De leider besloot dat ze de wind maar moesten volgen. “Vouwen is spiegelen, wat we de ene kant op niet vinden, vinden we misschien aan de andere kant”. P. zette een gespiegelde versie van L op de kaart, punt L’, maar om daar te komen moesten ze eerst de lengte van AM zien te vinden. Met deze wind was dat mogelijk. Ze konden de reis vervolgen.

Na enkele dagen varen kwamen ze aan bij het eiland waar de lengte van AM te vinden was. De mannen gingen aan land en dwaalden rond op zoek naar de Rechthoekige Driehoek. Na enige tijd vonden ze die en ze begonnen te graven. Zo ontdekten ze dat AM = \(\frac{r’}{cos(\theta)}\). Ze konden weer aan boord.

AM was nu bekend, en Tortylleus zag dat de hoek tussen AM en AL’ gelijk was aan \(4 \theta\). Hij overlegde met P., die dacht dat een lijn van lengte r nodig was om de driehoek te volmaken. Als de lengte van twee zijdes en een hoek bekend waren, was de driehoek volledig bepaald. Toch was niet meteen duidelijk hoe ze bij AL’ konden komen, die even lang was als AL. Ze vroegen Intel om raad. Intel herinnerde de mannen aan de sinusregel. Al snel kon het resultaat gevierd worden: de hoogte van lekpunt L wordt gegeven door

\(r \cdot sin(\theta) \cdot \frac{cos\left( 3 \theta + sin^{-1}\left( \frac{r’}{r} \cdot \frac{cos(3 \theta)}{cos(\theta)}\right) \right)}{cos(3 \theta)}\)

Na een dankfeest wierp een van de mannen, nog half dronken van blijdschap, een laatste korte blik op de vondst. Plotseling besefte hij iets gruwelijks: deze expressie valt niet algebraïsch te maximaliseren voor \(\theta\) en r’. Ontzet riep hij de rest bij elkaar en legde het probleem uit. Er ontstond rumoer.

Na enige tijd weeklagen ging Intel naar Tortylleus. Op gedempte toon overlegde hij met de leider. Toen maande Tortylleus iedereen tot stilte en zei: ‘Vreest niet. We hebben een machtige bondgenoot.’ Uit de zee verrees een gigantische slang. Iedereen deinsde terug, de slang verteerde de vondst. Toen begon dit wezen woordeloos te spreken:

Opnieuw werd het strand rumoerig, er stegen verbaasde kreten op. De vondst had geen duidelijk globaal maximum! Ja, iedere r’ gaf een optimale waarde voor \(\theta\), maar hoe groter r’, hoe hoger punt L leek te liggen. Ze moesten dus een zo groot mogelijke r’ en de bijbehorende \(\theta\) gebruiken, dan zou de queeste kunnen eindigen! P. & P. spoedden zich naar de boot en haalden er een aantal pakken wraps en vulling uit, om het resultaat te kunnen bevestigen. Tortylleus verdeelde lijntjes koude vulling over de wraps en iedereen begon te vouwen. Een zo groot mogelijke vouw, onder een zo groot mogelijke hoek ten opzichte van de verticaal. Al gauw was duidelijk: dit was verspilde moeite. Met het resultaat van de Machtige Python lag lekpunt L inderdaad hoog verheven boven de bodem van de wrap, maar er was een nieuw lekpunt ontstaan, waar vocht eenvoudig doorheen sijpelde. De sfeer was verslagen en de mannen gingen met vieze handen slapen.

Zoals wel vaker gebeurt, was het gezelschap op een doel afgegaan zonder zich goed voor te bereiden. Ze hadden kunnen weten dat er een tweede lekgat zou ontstaan. Op een eerdere afbeelding zien we dat alleen L₁, maar ook L₂ als mogelijk gevaar oplevert voor een schoon bord. Wie niet goed voorbereidt, moet dubbel werkt doen…

Toen de mannen de volgende ochtend wakker werden, hadden ze nieuwe moed gekregen. Ze moesten een tweede schat vinden en dat zou moeilijker worden dan de eerste keer. Gelukkig wisten ze nu wat voor gevaren ze te wachten stonden. Daarnaast waren ze beter in vorm dan ooit: de inzichten over spiegelen en dubbele hoeken waren diep ingedaald, de sinusregel beschermde ze met dubbele kracht. Daardoor lukte het om de schat veel sneller dan de eerste keer te vinden en te bemachtigen. Nog voor het einde van de week hadden ze een tweede overwinning behaald. De hoogte van L₂ werd gegeven door

\( {\displaystyle
r \cdot sin(3 \theta) \cdot \frac{cos \left( 5 \theta + sin^{-1} \left( \frac{r’}{r} \cdot \frac{cos(5 \theta)}{cos(\theta)}\right) \right)}{cos(5 \theta)}}
\)

Ze spreidden deze vondst uit op het strand en vroegen Intel om de zeeslang aan te roepen. Intel riep in iets wat leek op geheimtaal, en zweeg. Na een korte stilte kwam de Machtige Python weer tevoorschijn, verslond de vondst en sprak:

De mannen juichten. Deze vondst had een hoge rug, een optimum! Intel vroeg de zeeslang om nog eenmaal de mensheid ter dienste te staan en het minimum van de twee vondsten te laten zien. Het laagst liggende punt van L₁ en L₂ bepaalt namelijk de daadwerkelijke lekhoogte. De Python gaf het resultaat en verdween in de golven.

P. & P. renden naar de boot en haalden de laatste pakken wraps en vulling. Tortylleus deelde haastig lijntjes vulling uit. Wie vulling had gekregen, vouwde geheel over het midden, onder een hoek van 45° ten opzichte van de vulling. De derde en vierde vouw leken niet meer nodig. Iedereen was blij. Blij omdat ze de tweede schat hadden gevonden, en blij omdat de nieuwe methode een succes was. Ze richtten een offerfeest aan en begrepen dat de woede van de godheid gestild was.

De volgende dag klaagden P. & P. dat er eigenlijk maar weinig inhoud in de wraps had gepast. Die nieuwe methode voorkwam lekken, maar de wrap-vulling-verhouding was ernstig aangetast. Tortylleus begreep dat de zoektocht nog niet voorbij was. Hij adviseerde een iets kleinere vouw te nemen: met de vouwlijn op 30% afstand van het middelpunt en een \(\theta\) van 52 graden zou er meer voedsel in de wrap passen, en het lekpunt zou ongeveer even hoog liggen.

Het zat Tortylleus niet lekker. Wat de godheid betreft was het probleem misschien opgelost, maar het voelde niet zo bevredigend als hij had gehoopt. Op een dag zou hij zijn mannen weer verzamelen en ze zouden opnieuw vertrekken, op zoek naar de perfecte vouwmethode, al moesten ze tot over de randen van de aarde. Maar dat zou pas veel later zijn. Nu eerst naar huis, uitrusten en noteren welke avonturen deze queeste had opgeleverd.